Calcul de puissance - Corrigé

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Énoncé

Déterminer la forme algébrique de (1i3)10 .

Solution

On peut utiliser le binôme de Newton pour éviter de passer par la forme trigonométrique, mais c'est assez long. Déterminons la forme trigonométrique de z=1i3 .

On a :  |z|=|1i3|=12+(3)2=1+3=4=2
et donc :
z=2(12i32)=2(cosπ3+isinπ3).

Par conséquent : |z|=2  et arg(z)=π3  (2π) . On en déduit que :

|z10|=|z|10=210=1024   et   arg(z10)10arg(z)10×(π3)10π32π3 [2π].

Finalement :
(1i3)10=z10=1024(cos2π3+isin2π3)=1024(12+i32)
donc (1i3)10=512+512i3 .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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