Calcul de puissance - Corrigé

Énoncé

Déterminer la forme algébrique de `(1-i\sqrt{3})^{10}` .

Solution

On peut utiliser le binôme de Newton pour éviter de passer par la forme trigonométrique, mais c'est assez long. Déterminons la forme trigonométrique de `z=1-i\sqrt{3}` .

On a :  \(\left\vert z \right\vert = \left\vert 1-i\sqrt{3} \right\vert = \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2\)
et donc :
\(\begin{align*} z=2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =2\left(\cos\frac{-\pi}{3}+i\sin\frac{-\pi}{3}\right). \end{align*}\)

Par conséquent : \(\left\vert z \right\vert=2 ~~\text{et }\arg(z)=-\frac{\pi}{3} \ \ (2\pi)\) . On en déduit que :

\(\begin{align*} \left\vert z^{10} \right\vert = \left\vert z \right\vert^{10} = 2^{10} = 1024 \ \ \text{ et } \ \ \arg(z^{10}) \equiv 10\arg(z) \equiv 10 \times \left(-\frac{\pi}{3} \right) \equiv -\frac{10\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3} \ [2\pi]. \end{align*}\)

Finalement :
\(\begin{align*} (1-i\sqrt{3})^{10} =z^{10} & = 1024\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 1024\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{align*}\)
donc \(\begin{align*} (1-i\sqrt{3})^{10}= -512 +512i\sqrt{3} \end{align*}\) .