Calcul de puissance - Corrigé

Énoncé

Déterminer la forme algébrique de $(1-i\sqrt{3}{)}^{10}$ .

Solution

On peut utiliser le binôme de Newton pour éviter de passer par la forme trigonométrique, mais c'est assez long. Déterminons la forme trigonométrique de $z=1-i\sqrt{3}$ .

On a :  $\left|z\right|=|1-i\sqrt{3}|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
et donc :
$\begin{array}{r}z=2(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=2(\cos \frac{-\pi }{3}+i\sin \frac{-\pi }{3}).\end{array}$

Par conséquent : $\left|z\right|=2\text{et }\arg (z)=-\frac{\pi }{3}(2\pi )$ . On en déduit que :

$\begin{array}{r}\left|z^{10}\right|={\left|z\right|}^{10}=2^{10}=1024\text{ et }\arg (z^{10})\equiv 10\arg (z)\equiv 10\times (-\frac{\pi }{3})\equiv -\frac{10\pi }{3}\equiv \frac{2\pi }{3}[2\pi ].\end{array}$

Finalement :
$\begin{array}{rl}(1-i\sqrt{3}{)}^{10}=z^{10}& =1024(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})=1024(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\end{array}$
donc $\begin{array}{r}(1-i\sqrt{3}{)}^{10}=-512+512i\sqrt{3}\end{array}$ .